Par symétrie des rôles joués par $f$ et $g$, on a aussi $f(F_\lambda)\subset E_\lambda$. 2&1&1\\ On va raisonner par récurrence sur $n$. Soit $A=\left(\begin{array}{cccc} Pour la trigonalisation, chercher deux vecteurs propres $u_1$ et $u_2$, puis un troisième vecteur $u_3$ tel que $Au_3=u_3+u_2$. et seulement si la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est égale à 2. On raisonne par contraposée. Ainsi, par le théorème des valeurs intermédiaires, $P_n$ possède au moins une racine dans l'intervalle $]k,k+1[$, ce qui nous donne $n-1$ racines On procède exactement comme précédemment, et on trouve que $(u_1,u_2)$ forme une base de l'espace propre associé à la valeur propre 1, avec $u_1=(1,1,0)$ et $u_2=(0,1,1)$ et que $(u_3)$ forme une base de l'espace propre associé à la valeur propre 2, avec $u_3=(0,0,1)$. b&a&b&a&\dots\\ 0&0 1&0&0\\ $$A=\left(\begin{array}{ccc} +\left| Le sous-espace propre associé à la valeur propre $2$ pour $A$ est donc la droite vectorielle engendrée par $(2,-3,1)$. 0&2&1\\ Ainsi, $L$ est diagonalisable, et ses seules valeurs propres possibles pour $L$ sont donc $1$ et $-1$. Soit $E$ un $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension finie, et soient $f,g\in\mathcal L(E)$. \right)\textrm{ et } 2&2&2&2\\ Exercice 2 . Ces deux vecteurs sont non colinéaires, et $a+b$ comme $a-b$ sont non nuls. $M_n$. \end{array}\right).$$. 0&0&-1\\ On trouve : 1&0&1\\ Diagonaliser $A$ et écrire $A^k=PD^kP^{-1}$. Ceci peut se démontrer avec un argument de polynôme minimal. \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} Déterminer un polynôme $Q$ tel que $A=Q(J)$. \end{array}\right| 2-m&X-m Sûrement pas! Soit $f$ l'endomorphisme associé à $A$ dans la base canonique de $\mathbb R^n$. il existe une base diagonalisant tous les $u_i$. &=&(-1)^{n} X\left|\begin{array}{ccccc} y&=&x\\ vecteur indépendant des deux premiers, par exemple \end{array}\right).$$ $P_n$, qui est de degré $n$, et donc scindé à racines simples. Soit $n\geq 2$ et $A$ la matrice définie par $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ où $a_{i,i+1}=1$ pour $i=1,\dots,n-1$, les autres coefficients étant tous nuls. On a $P^{-1}AP=Q(D)$ qui est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les $Q(\omega_k)$, et donc En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, la réduction d'endomorphisme a pour objectif d'exprimer des matrices et des endomorphismes sous une forme plus simple, par exemple pour faciliter les calculs. $$P_A(X)=(X+1)(X-2)(X-5).$$ $$ Si $m\neq 1$ et $m\neq 2$, $f$ est un endomorphisme de $\mathbb R^3$ qui admet trois valeurs propres distinctes : Il est scindé à racines simples, ce qui assure que $A$ est diagonalisable. Démontrer que $A$ est diagonalisable et donner une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale telles que $A=PDP^{-1}$. En particulier, il existe une base $\mathcal B_i$ de $E_{\lambda_i}(u)$ constituée de vecteurs propres de $v_i$, donc de $v$. 0&0&1 $$\chi_J(x)=x^n-1.$$ Et ce n'est pas le cas! 1&\ddots&0&b_1\\ \begin{array}{c|c} Ce système est équivalent à $x=y=z$ et un vecteur propre est donc 1.1. Cherchons ce sous-espace Que peut-on en déduire sur les dimensions des espaces $E_\lambda$ et $F_\lambda$? \end{array}\right).$$, On considère la matrice \end{array}\right|=_{C_1+C_2\to C_1} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} $A^k=PD^kP^{-1}$. $$BAB-\lambda B=B(AB-\lambda I)$$ Valeurs propres, vecteurs propres 14. \end{array} alors on a $M^3=D$. &\ddots&\vdots&\vdots\\ Soit $A=\left(\begin{array}{cc}0&a\\b&0\end{array}\right)$ dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$. cette fois avec $m=2$), on a, pour $u=(x,y,z)$ : Déterminer deux vecteurs propres associés à deux autres valeurs propres, et en déduire que $A$ est diagonalisable. $$P_n(x)=xP_{n-1}(x)+\left| Soient $a,b\in\mathbb R$ tels que $|a|\neq |b|$. propre correspondant à la valeur propre 2. \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} L(E)$. Que doit vérifier une valeur propre? \end{eqnarray*} Alors Par symétrie 0&0 &=&x \left| (BA-\alpha I)(BCA-I)&=&B(ABC)A-BA-\alpha BCA+\alpha I\\ 0&\dots&\dots&-1&x $u_0$, $v_0$ et $w_0$ et les relations suivantes : Im est le sous-espace vectoriel engendré par . Pour cela, nous allons prouver que la matrice $A^{-1}N$ est nilpotente. $$A=\left( 1.2 Réduction des endomorphismes symétriques On conserve les notations de la section précédente. Son polynôme caractéristique est $\chi_A(x)=-(x-1)(x-2)(x-3)$. $$P_n(x)=\frac{\sin((n+1)\alpha)}{\sin\alpha}.$$. On cherche le sous-espace propre associé à 1 en résolvant $BX=X$, c'est-à-dire le système : Si $0$ est valeur propre de $f\circ g$, alors $\det(AB)=0$. Soient $p\geq 1$ et $\alpha_1,\dots,\alpha_{2p}$ des réels. Exercices - Réduction des endomorphismes : corrigé Réduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Spé - ? Procédons d'abord avec $A$. Or, si $A^k\neq 0$, $k$ est une valeur propre de $\phi_B$. C'est donc une base de $\mathbb R_n[X]$ constituée de vecteurs propres pour $L$. 2&2&3 Ce polynôme est scindé à racines simples sur $\mathbb C$, ses racines étant les racines $n$-ièmes de l'unité $\omega_k=e^{2ik\pi/n}$, $k=0,\dots,n-1$. \left| On en déduit que $\phi$ est lui-même diagonalisable. -1&0&0\\ Si on met tout ensemble, on en déduit que \end{array}\right) La matrice $P$ est donnée par Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg gf = f. Montrer que f est nilpotent. B=\left(\begin{array}{cc} 0&2&0\\ 0&0&0&\dots&1\\ Polynomes 18. Pour la réciproque, vérifier que $f$ et $g$ commutent sur chaque sous-espace propre de $f$. Pour la question 1, réduire $v$ "par blocs" (sur chaque sous-espace propre de $u$). $A$ est semblable à une matrice diagonale $D$. Pour prouver l'existence d'une matrice $B$ telle que $B^3=A$, l'idée est de d'abord faire la même chose avec $D$. \end{array}\right.\iff $$\left( \end{array}\right)$$ Soit $b_0,\dots,b_{n-1}$ des scalaires tels que \end{align*}, On procède par récurrence sur $n$. Ces lois munisent ainsi l’ensemble End(G) des endomorphismes du groupe abélienG d’unstructure d’anneau. Alors, pour $k\leq n-2$, d'après la formule \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} $\alpha_k=\frac{k\pi}{n+1}$, $k=1,\dots,n$. 2c-2b&-2b+c&c 0&1&0&\dots&1 Le polynôme caractéristique est scindé, et se factorise en $X^{n-1}(X-\lambda)$. On cherche ensuite un troisième vecteur $u_3$ tel que $f(u_3)=u_2+u_3$. En déduire toutes les matrices $M$ qui commutent avec $A$. Cela consiste essentiellement à trouver une décomposition de l'espace vectoriel en une somme directe de sous-espaces stables sur lesquels … -1&0&3 2&-1&-1\\ On le note . Soit $P$ un vecteur propre associé. 0&0&5\end{array}\right)$$ 1&0&\dots&0 En déduire que si $\dim E=2n$, il existe des vecteurs $(e_1,\dots,e_n)$ tels que $(e_1,f(e_1),\dots,e_n,f(e_n))$ forme une base de $E$. Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie. -1&x&-1&0&\dots\\ $\mathbb R$? \end{array}\right).$$ réciproque, considérer un supplémentaire stable d'un hyperplan. 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ Calculer $A^k$ pour tout $k\in\mathbb N$. \left| II. Démontrer que $0$ est une valeur propre de $\phi$ et déterminer le sous-espace propre associé. Puis, au début du premier chapitre, il formule le problème de la façon suivante : Nous nous proposons d'attacher à chaque ensemble borné un nombre positif ou nul que nous appellerons sa mesure et satisfaisant aux conditions suivantes : 1. On souhaite étudier si le fait que $f\circ g$ est diagonalisable entraîne que $g\circ f$ est diagonalisable. \end{array}\right).$$ 0&*\\ Donner les valeurs propres de $B$ et la dimension des sous-espaces propres correspondants. \end{eqnarray*} On suppose que $u$ et $v$ commutent. Commençons par prouver le sens direct. des $M_{i,j}$. Déterminer, sans calculer le polynôme caractéristique, les valeurs propres de $A$. Autrement dit $A$ est semblable à $B$ qui est elle-même semblable à une matrice dont les coefficients diagonaux sont nuls. Montrer que $f$ n'a pas de valeurs propres réelles. -1&-1&X-3&\dots&\vdots\\ Par hypothèse de récurrence, $A'=QB'Q^{-1}$ où $B'$ a la forme voulue. Complétons alors la famille en $(x,f(x),e_3,\dots,e_n)$ une base de $\mathbb R^n$. On calcule le polynôme caractéristique de $J$. z&=&x \end{array}$$ Exercice 2 \end{array}\right.$$ Ceci signifie que le vecteur \end{array}\right).$$. 2 Danscecours estuncorpsquipeutê tre Q,Rou C. Tabledesmatières 1 Unpeudethéoriedesgroupes 7 ... semble des vecteurs de Rn est le vecteur nul (dont toutes les coordonnées sont 0). On en déduit que $\phi$ est diagonalisable. \end{array}\right).$$ Ainsi, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples et Ainsi, $\lambda$ est valeur propre de $B$ si et seulement si $\lambda^2$ est valeur propre de $A$, et $X=\binom{x}y$ est vecteur propre de $B$ pour la valeur propre $\lambda$ si et seulement si $x=\lambda y$ et $y$ est vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $\lambda^2$. En déduire l'existence d'un entier $k>0$ tel que $A^k=0$. les vecteurs $\left(\begin{array}{c}3\\2\\0\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)$. 0&3&2\\ $$M=\left( Démontrer que $\phi$ est un endomorphisme de $E$. D'après la question précédente, $\mathcal C_f$ est de dimension $n$. *&A' \begin{array}{cccc} Sinon, il existe $x\in\mathbb R^n$ tel que la famille $(x,f(x))$ soit libre. Pour trigonaliser la matrice, il suffit de compléter la base par un troisième Puisque $3+1\geq 4$, on en déduit que $A$ est diagonalisable. \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ ALGEBRE 4: Réduction des Endomorphismes et Applications PDF : pour les etudiants faculté des sciences science de SMA S3 par cours science exerice examens tp td pdf gratuit, Ch. et on a $A=PDP^{-1}$. et de plus $\mathbb R^{2p}=E_1\oplus E_2\oplus\dots\oplus E_{p}$. Mais $B^{2n-2}=A^{n-1}\neq 0$, et $2n-2\geq n$, ce qui est absurde. \end{array}\right).$$. \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} On va commencer par diagonaliser $f$. Autrement dit, l'application 1&2&1\end{array}\right).$$, On a $A=PDP^{-1}$, ce qui entraîne par récurrence $A^n=PD^nP^{-1}$. \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} $$C_A(X)=\left|\begin{array}{ccccc} Démontrer que $u\circ v=v\circ u$ si et seulement si $\ker(u)$ et $\textrm{Im}(u)$ sont stables par $v$. 0&1&1\end{array}\right)\textrm{ et } Soient u et v deux endomorphismes de E tels que ∃(α,β)∈ C2/ uv −vu =αu +βv. \end{array}\right|+\big(X-(n-1)\big)P_{n-1}(X). Soit $A=\left(\begin{array}{cc} 0&-2 Démontrer que $J$ est diagonalisable et calculer ses valeurs propres. }\alpha_i\alpha_{2p+1-i}>0.$$. P_n(X)&=\big(X-(n-1)\big) P_{n-1}(X)+(-1)^n X\big((n-2-X)\cdots(1-X)\big)\\ Démontrer que $f$ et $g$ commutent si et seulement si les sous-espaces propres de $f$ sont stables par $g$. La réduction est un outil essentiel d'étude des propriétés des endomorphismes. b&a&b&a&\dots\\ \end{array}\right)$$ Correction H [005659] Exercice 10 **** Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Le calcul précédent donne finalement 0&3 Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice de trace nulle. On va procéder par récurrence sur $k$. Soit $\lambda$ une valeur propre de $f$. \\ \end{array}\right)\textrm{ et } Résumé Cours Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Mathématiques MP, AlloSchool $D^n$ se calcule facilement en mettant les coefficients de la diagonale à la puissance $n$. Montrer que si $f\circ g$ a une valeur propre nulle, il en est de même de $g\circ f$. Si $\lambda$ est une valeur propre associée au vecteur propre $x$, la condition $f^2(x)=-x$ entraîne que $\lambda^2=-1$ : il n'existe pas de valeurs propres réelles. nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable. B=\left(\begin{array}{cc} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} Soit $\lambda$ une valeur propre de $f\circ g$, et soit $E_\lambda$ (resp. $$N=\left( $$B=\left( \end{array}\right).$$. 2$ Exercice 2 . \begin{align*} $BA$ est diagonalisable, tandis que $AB$ ne l'est pas. $$(AB-\alpha I)C=I\implies ABC=I+\alpha C.$$ 0&\dots&0&(n-2)-X \end{array}\right. De $A=PDP^{-1}$, on déduit facilement par récurrence -z&=&1+y\\ Soit $w$ la restriction de $v$ à $E_\lambda$. Donner une condition Si $A$ est nilpotente, elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte et sa trace est nulle. Essayer d'abord de trouver une telle base avec $n=2$. On a donc bien trouvé notre base de vecteurs propres, et $A$ est diagonalisable. &=&(X-1)(X-2)(X-m). C'est faux! $$P_B(X)=X^3-5X^2+8X-4.$$ Mais son indice de nilpotence doit être inférieur ou égal à $n$, et on aurait $B^n=0$. On va procéder par récurrence double. \end{array}\right|.$$ On suppose qu'il existe $P\in GL_n(\mathbb C)$ tel que $PAP^{-1}=B$. B=\left(\begin{array}{ccc} $$\dim(E_{\lambda_1})+\dots+\dim(E_{\lambda_p})=n.$$ -1&-1&0\\ 3x-3y&=&0\\ Soient $u,v\in\mathcal L(E)$ diagonalisables tels que $u\circ v=v\circ u$. que $a_{i,2p+1-i}=\alpha_i$ si $1\leq i\leq 2p$ et $a_{i,j}=0$ sinon. Ainsi, $0$ est valeur propre de $A$ de multiplicité $2n-2$. $$A=\left(\begin{array}{ccc} On considère Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. &=_{L_2-L_1\to L_2}&\left|\begin{array}{ccc} ni de la matrice de passage. \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} Le polynôme caractéristique de $C$ est $\chi_C(X)=-(1-X)^2(2-X)$. \end{array} Comme $N$ est nilpotente, elle n'admet que $0$ pour valeur propre. Alors, $B=A-\sum_{i\neq j}a_{i,j}M_{i,j}$ est une matrice diagonale (si vous n'êtes pas \end{array}\right)$$ Remarquons aussi que, pour tout $i=0,\dots,n-1$, on a \begin{eqnarray*} Soit $x\in E_\lambda$, c'est-à-dire que $f\circ g(x)=\lambda x$. Si $\alpha$ n'est pas une valeur propre de $f\circ g$, REDUCTION DES ENDOMORPHISMES 13. 0&1&0&\dots\\ L'espace propre associé est donc de dimension 2, de base $(u_1,u_2)$ avec $u_1=(1,0,0)$ et $u_2=(0,1,-1)$. Déduire de ce qui précède que $f\circ g$ et $g\circ f$ ont les mêmes valeurs propres. $$A=\left(\begin{array}{ccc} &=&(-1)^{n-1}X^{n-2}(-X^2+2X+2n-4). \end{array} Considérer par exemple un projecteur sur $E_\lambda(f)$. P_n(X)&=&\left|\begin{array}{ccccc} X&1&0&\dots&1-X La matrice A est donc semblable à $\textrm{diag}(1,2,-4)$, la matrice de passage étant Pour $k\in\{0,\dots,n-2\}$, le résultat de la question précédente nous dit que $P_n(k)$ et $P_n(k+1)$ sont de sont-elles semblables? $$N_1=\left(\begin{array}{cccc} -x+y+z&=&0\\ BA=\left(\begin{array}{cc} Un isomorphisme préserve les dimensions. \pi&1&2\\ On n'a donc pas trop le choix! Les deux espaces propres associés étant en somme directe, la réunion des deux familles Mais les familles $(P_k)_{k=0,\dots, p}$ et $(Q_k)_{k=0,\dots,p-1}$ sont encore des familles libres de vecteurs propres dont la réunion est une base de $\mathbb R_n[X]$ (il y a cette fois $p+1+p=2p+1=n+1$ vecteurs). de sorte que \end{array} Résumé de cours et méthodes – Réduction en MP, PC, PSI et PT 1. La matrice que l'on obtient est diagonale, son déterminant est le produit des termes diagonaux, et on obtient Soit $y\in\vect(x,f(x))$, $y=ax+bf(x)$. On note $C$ son inverse. B=\left(\begin{array}{cc} Soit $H$ un hyperplan de $\mathcal M_n(\mathbb K)$, $n\geq 2$. 0&0&3 c'est une famille génératrice, puisqu'on a une famille de $n^2$ éléments dans un espace de dimension $n^2$. \left| Considérer la restriction de $v$ à un sous-espace propre de $u$. Autrement dit, tous les réels sont des valeurs propres pour $D$, et $\exp(\lambda x)$ est une base de l'espace propre associé à $\lambda$. 0&1&0&\dots&1\\ Considérer par exemple $A=\left(\begin{array}{cc} \end{array} $$P_{n}(n-1)=-(-1)^{n+n-1}P_n(n-1)<0.$$ Tout endomorphisme d'un espace vectoriel réel de dimension impaire admet au moins une valeur propre. Les matrices $E_{i,i}$ sont diagonales, donc diagonalisables! 1&0&0\\ Justifier que $\phi$ est diagonalisable et donner les valeurs propres de $\phi$. En résumé, on a prouvé que $A$ est diagonalisable si et seulement si $a=b=0$ ou $ab>0$. y&=&x\\ \begin{array}{ccc} \end{array}\right).$$ 0&0&4\\ On peut commencer par calculer le rang de $A$. Plus généralement, soit $u_1,\dots,u_m$ une est 0, et donc si $A$ était diagonalisable, elle serait égale à la matrice nulle, ce qui n'est pas le cas. \end{array}\right).$$ a_1&\dots&a_{n-1}&a_0 Exercices corrigés - Base de données d'exercices. 1&0\\ On considère, pour $n\geq 4$, la matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ telle que $a_{i,j}=1$ si $i=1$ ou $i=n$ ou $j=1$ ou $j=n$, et $a_{i,j}=0$ sinon. par les éléments de la diagonale. \begin{array}{rcl} Ainsi, 10 est valeur propre de $A$, et la dimension de l'espace propre associé est au moins égale à $1$. Diagonaliser les matrices suivantes : Si $A$ était diagonalisable, alors il existerait une matrice Soit, pour $n\geq 1$, la matrice $M_n$ de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ dont les coefficients diagonaux Caract´erisation des endomorphismes diagonalisables Proposition 8 – Soit λ ∈ K. On note Eλ = Ker(f −λId) = {x ∈ E; f(x) = λx}. On a donc bien $u\circ v=v\circ u$. Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb C$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Posons $B=PMP^{-1}$. Ainsi, la somme des dimensions des sous-espaces propres de $g\circ f$ est (au moins) égale à $n$. Démontrer que, pour tout $n\geq 2$, $P_{n}(X)=(X-(n-1))P_{n-1}(X)-X(X-1)\dots(X-(n-2))$. On trouve Soit un entier $k\geq 1$ Toutes les colonnes étant identiques, et la matrice n'étant pas la matrice nulle, elle est de rang 1. 1n_{3,1}&2n_{3,2}&3n_{3,3}\\ \end{array}\right).$$ Trouver d'abord une matrice $M$ telle que $M^3=D$. † …u le polyn^ome caract¶eristique de u. Calculer le polynôme caractéristique de $A$. Im est le sous-espace vectoriel engendré par . \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} Si $m\neq 1$, $m\neq 2$, appliquer un théorème du cours. $y\in E$, on a Groupe linéaire Construction d'un endomorphisme commutant [Macros de base] [] [Déterminant] [Illustration : endomorphisme de trace nulle][Réduction des endomorphismes] [Adjoint d'un endomorphisme] Soit f un endomorphisme. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées () Réduction des endomorphismes 1 / 46 1 Objectifs 2 Valeurs propres et vecteurs propres 3 Valeurs propres et vecteurs propres en dimension finie 4 Endomorphismes/matrices diagonalisables 5 Endomorphismes et Matrices Trigonalisables Dans tout le chapitre, E désigne un espace vectoriel sur le corps R (mais ça … (2017 : 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Alors d'une part 1n_{1,1}&1n_{1,2}&1n_{1,3}\\ Soit $E=\mathbb R_n[X]$ et soient $A,B$ deux éléments de $E$ premiers entre eux tels qu'en outre $B$ est scindé à racines simples. $f(e_1)$ n'est pas lié à $e_1$, puisque $f$ est sans valeur propre. $B$ serait donc nilpotente. Maintenant, puisque $u$ est diagonalisable, $\mathcal B_1\cup\dots\cup \mathcal B_p$ est une base de $E$ constituée de vecteurs propres pour $u$ et pour $v$, d'où le résultat. C'est vrai! \end{array}\right).$$ (rappelons qu'on a $m=1$). Retirer la première colonne à la dernière. On a $X_{n+1}=AX_n$. z&=&0 Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal M_{2p}(\mathbb R)$ tel 1&3&-3\\ Plus généralement, donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice de rang 1 soit diagonalisable. Observons que ces vecteurs sont aussi vecteurs propres de $u$ puisque éléments de $E_{\lambda_i}(u)$. \begin{eqnarray*} $\mathcal M_n(\mathbb R)$ étant de dimension finie $n^2$, $\phi_B$ admet au plus un nombre fini de Avec la question précédente, on doit être capable de déterminer la dimension de $E_\lambda(\phi)$. $$g(f(x))=g(\lambda x)=\lambda g(x)$$ E est un K-espace vectoriel de dimension finie. \begin{array}{c|c} Pour calculer l'avant-dernier déterminant qui apparait, on retranche l'avant-dernière ligne à la dernière, puis la ligne $n=2p$ est pair. De plus, la limite de $P_n$ en $+\infty$ est $+\infty$ et \end{array}\right. a&b&a&b&\dots\\ 3&-2&0\\ Lycée Internationale de Valbonne 2020-2021 T.D. z&=&0 Dans cette leçon, le caractère euclidien de l’espace est essentiel pour que l’endomorphisme soit remarquable. Procédons de proche en proche. Alors $(u,v,w)$ est une base de vecteurs propres \end{array}\right).$$ bien exactement une dans chaque intervalle proposé. \end{array}\right)$$ Ce polynôme minimal est de degré $n$, car les valeurs propres de $f$ sont toutes distinctes. En effet, si $\lambda_0 Id+\lambda_1 f+\dots+\lambda_{n-1}f^{n-1}=0$, alors le polynôme $P(X)=\lambda_0+\lambda_1X+\dots+\lambda_{n-1}X^{n-1}$ annule $f$. Exercice 1 - Vrai/faux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé . &=&2\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)+2\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)-\sin(\alpha)\\ \vdots&\ddots&\ddots&a_1\\ Mais $\det(AB)=\det(BA)=0$, et donc $0$ est valeur propre de $g\circ f$. Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ les valeurs propres de $f\circ g$. Vérifier que $\phi_B$ est un endomorphisme de $\mathcal M_n(\mathbb R)$. \end{eqnarray*}. \begin{array}{ccccc} On choisit ensuite $e_2\notin\vect(e_1,f(e_1))$. $$\chi_A(X)=(X-1)(X-2)(X+4).$$ On en déduit que \end{eqnarray*} &=&(-1)^{n-2}\times(-1)\times(-1)^{n-2}\\ où $A'$ est une matrice de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ de trace nulle. \end{array}\right|\\ Le sous-espace propre associé à 2 est donc de dimension 2, et une base est donnée par Alors on a Voir moins Voir plus Essai gratuit Intégrer. 0&2^k&0\\ -5&3\\ x&=&2z\\ &=&2\cos\alpha\sin(n\alpha)-\sin((n-1)\alpha))\\ Soit $A$ la matrice Il suffit de prouver qu'on peut trouver une matrice inversible qui s'écrit comme combinaison linéaire de matrices nilpotentes. $$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$. Si $A$ est diagonalisable, alors $A^2$ est diagonalisable. Ainsi, le sous-espace propre associé à la valeur propre 2 est le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur $u_1=\left(\begin{array}c 1\\-2\\1\end{array}\right).$. 0&1&0\\ 1&0\\ &=&\sin((n+1)\alpha) -1&0&\dots&0\\ Décomposition de Dunford-Jordan; Décomposition spectrale La famille $(Id,f,\dots,f^{n-1})$ étant clairement une famille d'éléments de $\mathcal C_f$, il suffit de prouver que c'est une famille libre. \end{array}\right),\textrm{ } B=\left(\begin{array}{ccc} On obtient une relation de récurrence sur les $(u_n)$. Mais puisque $I_3$ commute avec toutes les matrices, on aurait \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} Calculer le rang de $A$. On calcule le polynôme caractéristique de $A$. $$M=\left(\begin{array}{cc} En utilisant $\det(BAB-\lambda B)$, démontrer que $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique. \begin{eqnarray*} \right).$$. $A$ n'admet pas de racine carrée. Démontrer que $I_n+A^{-1}N$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale. Alors les familles $(P_k)_{k=0,\dots,p}$ et $(Q_k)_{k=0,\dots,p}$ sont deux familles libres En effet, si $x$ est vecteur propre, tous ses multiples non nuls sont vecteurs propres. où $Q_1,Q_2\in \mathbb R[X]$ et donc On trouve : x&-1&0&\dots\\ Pour tout $x\in ]-2,2[$, on pose $x=2\cos \alpha$ avec $\alpha\in ]0,\pi[$. Une base de $\ker(f-I)$ est donc donnée par le vecteur $(1,1,0)$. Calculer le polynôme caractéristique de $A$. -x+3y+2z&=&0\\ Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $p